質問の論旨が前半と後半で変わっているようです。

＞一人称と三人称のどちらか片方に特化すべきか、あるいは両方とも書けるようになるべきか

それは書きたいものの内容次第では？
ストーリーによって、一人称向き、三人称向きということは有ると考えます。なので、それに即して選択するのがベストであって、一般論としてどちらかに特化するべきというものでは無いのではないかと思います。
そういう意味で、両方こなせる方が作品の幅が広がるということは言えるかもしれません。

＞似たような文が続きがちになってしまうというのは、一人称では自然なことなのでしょうか？

一人称の性格として語り手の主観が文章に反映するので、「語り口」は似てくるだろうし、そうでなければ一人称としてはおかしいでしょう。
ただ、だからと言って「似たような文が続く」という状態になってしまうのは問題かと。視点人物をめぐる状況、人物の行動、風景、感情の起伏などによって、文章の変化は十分に生まれると思います。そうでなければ読者が退屈してしまうでしょう。
ストーリーや内容が豊かでなければ文章が平板になってしまうのは、三人称とて同じことだと思いますよ。